Problemy Hilberta

Problemy Hilberta – lista 23 zagadnień matematycznych przedstawiona przez Davida Hilberta w 1900 roku, pokazująca stan matematyki na przełomie XIX i XX wieku. Lista ta była tematem jego wykładu na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu, jednak z powodu braku czasu Hilbert zdążył omówić wówczas jedynie 10 z owych problemów.

Sam Hilbert prawdopodobnie nie zdawał sobie sprawy z wagi i trudności wielu spośród postawionych przez siebie problemów. Próby ich rozwiązania wpłynęły znacząco na rozwój matematyki w XX wieku.

Do początku XXI w. większość problemów Hilberta została rozwiązana, choć niektóre problemy sformułowane są zbyt ogólnie, by można to było jednoznacznie stwierdzić. W 2021 roku do nierozwiązanych wciąż problemów należy m.in. problem numer 8, który zawiera dwie hipotezy dotyczące liczb pierwszych (hipotezę Goldbacha i hipotezę Riemanna).

Lista problemów Hilberta

Nr	Krótki opis	Aktualny status
1	Hipoteza continuum (nie istnieje zbiór o mocy pośredniej pomiędzy mocą zbioru liczb całkowitych i liczb rzeczywistych)	Udowodniono, że hipoteza ta jest niezależna od aksjomatyki Zermela-Fraenkla teorii mnogości. W oparciu o te aksjomaty nie można jej ani udowodnić, ani obalić.
2	Udowodnić niesprzeczność aksjomatów arytmetyki (tzn., że arytmetyka jest systemem formalnym, w którym nie jest możliwy dowód dwóch sprzecznych ze sobą twierdzeń)	Nie ma zgody co do rozstrzygnięcia, mający pomóc w rozwiązaniu problemu program Hilberta został podważony przez twierdzenie Gödla, jednak jest to wciąż przedmiotem debaty.
3	Czy mając dane dwa wielościany o równej objętości, można zawsze rozłożyć jeden z nich na skończoną liczbę wielościennych części, a następnie złożyć je w drugi?	Rozwiązany przez Maxa Dehna, który podał kontrprzykład.
4	Problem konstrukcji przestrzeni metrycznych, w których proste stanowią najkrótszą drogę pomiędzy punktami	Problem uznany za zbyt ogólnikowy, choć został rozstrzygnięty dla pewnych szczególnych przypadków.
5	Czy wszystkie ciągłe grupy są jednocześnie grupami Liego?	Rozwiązany w 1953 r. – dowodu dostarcza twierdzenie Gleasona-Montgomery'ego-Zippina.
6	Aksjomatyzacja całości fizyki	Problem został uznany za niematematyczny, rozwiązany tylko dla niektórych dziedzin.
7	Czy liczba a b, gdzie liczba algebraiczna a jest różna od 0 i 1, a b jest algebraiczną liczbą niewymierną, jest liczbą przestępną?	Rozwiązany – odpowiedzi pozytywnej udziela Twierdzenie Gelfonda-Schneidera.
8	Hipoteza Riemanna (część rzeczywista każdego nietrywialnego zera funkcji dzeta jest równa ½) i hipoteza Goldbacha (każda liczba parzysta większa od 2 może być wyrażona jako suma dwóch liczb pierwszych)	Problem otwarty.
9	Dowód uogólnionego prawa wzajemności dla każdego algebraicznego ciała liczbowego	Rozwiązany częściowo. W 1927 r. Emil Artin podał dowód dla rozszerzeń abelowych (twierdzenie Artina o wzajemności). Przypadek ogólny pozostaje otwarty.
10	Przewidzenie rozwiązywalności każdego równania diofantycznego	Rozwiązany – zgodnie z twierdzeniem Matijasiewicza jest to niemożliwe.
11	Rozwiązywanie form kwadratowych z dowolnymi algebraicznymi współczynnikami liczbowymi	Rozwiązany w 1924 r. przez Helmuta Hassego.
12	Rozszerzenie twierdzenia Kroneckera-Webera o ciałach abelowych na dowolne algebraiczne ciała liczbowe	Problem otwarty.
13	Rozwiązywanie wszystkich równań 7. stopnia przy użyciu funkcji dwóch zmiennych	Rozwiązany. Możliwość rozwiązania wszystkich takich równań udowodnił Władimir Arnold razem z Andriejem Kołmogorowem
14	Dowód skończoności konstrukcji pewnych podpierścieni	Rozwiązany. Odpowiedź przecząca z uwagi na kontrprzykład znaleziony w 1959 r. przez Masayoshi Nagatę.
15	Ścisłe sformułowanie rachunku Schuberta	Rozwiązany w 1930 r. przez Van der Waerdena.
16	Postulat badań nad topologią krzywych i powierzchni algebraicznych	Problem otwarty.
17	Wyrażenie określonych funkcji rzeczywistych jako ilorazu sum kwadratów	Rozwiązany. Znaleziono górne ograniczenie dla liczby wymaganych składników.
18	Czy istnieje nieforemny wielościan pozwalający na wypełnienie przestrzeni? Jakie jest najgęstsze upakowanie sfer?	Rozwiązany, ale dowód postulatu Keplera wciąż czeka na powszechną akceptację.
19	Czy rozwiązania lagranżjanów są zawsze analityczne?	Rozwiązany. Odpowiedź twierdząca. Dowód podany przez Ennio de Giorgiego oraz niezależnie, z wykorzystaniem innego aparatu, przez Johna Forbesa Nasha.
20	Czy wszystkie zadania rachunku wariacyjnego z określonymi warunkami brzegowymi mają rozwiązania?	Rozwiązany. Obszar intensywnych i szeroko zakrojonych badań w XX w.; wieloletnie wysiłki zwieńczone w 1998 r. skonstruowaniem dowodu dla przypadku nieliniowego.
21	Dowód istnienia liniowych równań różniczkowych z przypisanymi grupami monodromii	Rozwiązany w 1957 r. przez Helmuta Rörla. Odpowiedź twierdząca lub przecząca, w zależności od bardziej szczegółowego sformułowania problemu.
22	Uniformizacja relacji analitycznych przy pomocy funkcji automorficznych	Rozwiązany w 1907 r. przez Henriego Poincarégo.
23	Dalszy rozwój rachunku wariacyjnego	Rozwiązany.

Zobacz też

• problem otwarty
• problemy milenijne

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• Strona o problemach Hilberta. matematycy.interklasa.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2006-12-06)].
• Trzeci problem Hilberta, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 4 sierpnia 2017 [dostęp 2024-09-04].

Obcojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hilbert's Problems, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].
• Hilbert problems (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].
• Przemówienie Hilberta (ang.)
• Hilbert's 15th Problem: Schubert Calculus, kanał PBS Infinite Series na YouTube, 10 listopada 2017 [dostęp 2024-08-29].
• Oryginalny tekst paryskiego przemówienia Hilberta. mathematik.uni-bielefeld.de. [zarchiwizowane z tego adresu (2012-02-05)]. (niem.)